Question

13．在△ABC中，∠ACB=45°，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連結(jié)FC．
（1）如果AB=AC．如圖1，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如果AB≠AC，如圖2，且點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)．此時(shí)（1）中結(jié)論是否成立，為什么？

Answer 1

分析 （1）由四邊形ADEF是正方形與AB=AC，∠BAC=90°，易證得△BAD≌△CAF，然后由全等三角形的性質(zhì)，可證得CF=BD，繼而求得∠BCA+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
（2）當(dāng)AB≠AC，證不出△BAD≌△CAF，即結(jié)論不成立．

解答 解：（1）∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
（2）當(dāng)AB≠AC，證不出△BAD≌△CAF，即結(jié)論不成立．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明△BAD≌△CAF，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．