Question

如圖，已知點(diǎn)A（0，1），C（4，3），E，P是以AC為對(duì)角線的矩形ABCD內(nèi)部（不在各邊上）的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸上，拋物線y=ax²+bx+1以P為頂點(diǎn)．
（1）求證：A、C、E三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+bx+1與x軸有交點(diǎn)F、G（F在G的左側(cè)），△GAO與△FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，試確定a、b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，A（0，1）、C（4，3）兩點(diǎn)確定的直線解析式為：y=x+1，
將點(diǎn)E的坐標(biāo)（，），代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=，
∵左邊=右邊，
∴點(diǎn)E在直線y=x+1上，
即點(diǎn)A、C、E在一條直線上；

（2）連接GA、FA．
∵S_△GAO-S_△FAO=3
∴GO•A0=FO•AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
設(shè)F（x₁，0），G（x₂，0），
則x₁、x₂是方程ax²+bx+1=0的兩個(gè)根，且x₁＜x₂，
又∵a＜0
∴x₁•x₂=＜0，
∴GO=x₂、FO=-x₁
∴x₂-（-x₁）=6，即x₂+x₁=6
∵x₂+x₁=-，
∴-=6，
∴拋物線的解析式為：y=ax²-6ax+1，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1-9a）
∵頂點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-＜a＜0①
由方程組，
得：ax²-（6a+）x=0，
∴x=0或x==6+，
當(dāng)x=0時(shí)，即拋物線與線段AE交于點(diǎn)A，而這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則有：0＜6+＜，
解得：-≤a＜-，
綜合①②，得-＜a＜-，
∵b=-6a，
∴＜b＜．
分析：（1）說明點(diǎn)A、C、E在一條直線上，只要求出過A、C的直線的解析式，然后判斷E是否滿足函數(shù)的解析式就可以；
（2）連接GA、FA，已知△GAO與△FAO的面積差為3，而這兩個(gè)三角形的高相同是OA的長(zhǎng)，等于1，因而就可以得到OG與OF的長(zhǎng)度的一個(gè)關(guān)系式．拋物線y=ax²-6ax+1的頂點(diǎn)可以用a表示出來，頂點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，即可以求出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及一元二次方程的求解和韋達(dá)定理，及拋物線所經(jīng)過的點(diǎn)，列方程組求a、b的值，難度較大．