Question

.(本題12分)

已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過P（，3），E（，0）及原點(diǎn)O（0，0）

（1）求拋物線的解析式；

（2）過P點(diǎn)作平行于x軸的直線PC交y軸于C點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)

且位于直線PC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線QA平行于y

軸交x軸于A點(diǎn)，交直線PC于B點(diǎn)，直線QA與直線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OABC（如圖）．是否存在點(diǎn)Q，使得△OPC與△PQB相似？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如果符合（2）中的Q點(diǎn)在x軸的上方，連接OQ，矩形OABC內(nèi)的四個(gè)三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之間存在怎樣的關(guān)系，為什么？

 

Answer 1

【答案】

 

 

 解：（1）由已知可得：

解之得，a=-，b=，c=0．

因而得，拋物線的解析式為：y=-x²+x．

（2）存在．

設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），則，

要使△OCP∽△PBQ，

則有，即，

解之得，m₁=3，m₂=．

當(dāng)m₁=時(shí)，n=2，即為P點(diǎn)，

所以得Q（2，2）

要使△OCP∽△QPB，則有，即

解之得，m₁=3，m2=，

當(dāng)m=時(shí)，即為P點(diǎn)，

當(dāng)m₁=3時(shí)，n=-3，

所以得Q（3，-3）．

故存在兩個(gè)Q點(diǎn)使得△OCP與△PBQ相似．Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），（3，-3）．

（3）在Rt△OCP中，

因?yàn)閠an∠COP=

所以∠COP=30度．

當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，∠BPQ=∠COP=30度．

所以∠OPQ=∠OCP=∠B=∠QAO=90度．

因此，△OPC，△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形．

又在Rt△OAQ中，

因?yàn)閠an∠QOA=．

所以∠QOA=30度．

即有∠POQ=∠QOA=∠QPB=∠COP=30度．

所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA，

又因?yàn)镼P⊥OP，QA⊥OA∠POQ=∠AOQ=30°，

所以△OQA≌△OQP．

【解析】此題是二次函數(shù)的綜合題，知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度。