Question

（2013•平陽縣二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+

5

2

與直線AB交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，

5

2

）．點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)D為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，線段DC的長(zhǎng)度是多少？
②設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①利用配方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出AB解析式，得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CD即可；
②由題意可得：D（m，-

1

2

m2+2m+

5

2

），C（m，

1

2

m+

1

2

），進(jìn)而利用△ADB的面積為△ADC的面積+△CDB的面積，求出即可．

解答：解：（1）由題意得

a-b+ 5 2 =0 16a+4b+ 5 2 = 5 2 .

解得：

a=- 1 2 b=2.

故拋物線解析式為：y=-

1

2

x²+2x+

5

2

；

（2）①∵y=-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

（x-2）²+

9

2

，
∴頂點(diǎn)D(2，

9

2

)
設(shè)直線AB為：y=kx+b，
則有

-k+b=0 4k+b= 5 2 .

解得

k= 1 2 b= 1 2 .

∴直線解析式為：y=

1

2

x+

1

2

，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

×2+

1

2

=

3

2

，
∴C(2，

3

2

)
∴CD=

9

2

-

3

2

=3，

②由題意可得：D（m，-

1

2

m2+2m+

5

2

），C（m，

1

2

m+

1

2

），
CD=（-

1

2

m2+2m+

5

2

）-（

1

2

m+

1

2

）
=-

1

2

m2+

3

2

m+2．
∴S=

1

2

(m+1)•CD+

1

2

(4-m)•CD
=

1

2

×5×CD
=

1

2

×5×（-

1

2

m2+

3

2

m+2）
=-

5

4

m²+

15

4

m+5
=-

5

4

（m-

3

2

）²+

125

16

．
∵-

5

4

＜0，
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)，S最大值為

125

16

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識(shí)，利用AB解析式得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．