Question

17．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（k+3）x+3k=0．
（1）求證：不論k取何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊長為2，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）求出根的判別式，利用偶次方的非負(fù)性證明；
（2）分△ABC的底邊長為2、△ABC的一腰長為2兩種情況解答．

解答 （1）證明：△=（k+3）²-4×3k=（k-3）²≥0，
故不論k取何實數(shù)，該方程總有實數(shù)根；
（2）解：當(dāng)△ABC的底邊長為2時，方程有兩個相等的實數(shù)根，
則（k-3）²=0，
解得k=3，
方程為x²-6x+9=0，
解得x₁=x₂=3，
故△ABC的周長為：2+3+3=8；
當(dāng)△ABC的一腰長為2時，方程有一根為2，
方程為x²-5x+6=0，
解得，x₁=2，x₂=3，
故△ABC的周長為：2+2+3=7．

點評 本題考查的是一元二次方程根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．