Question

（1）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且滿足BE=CF，聯(lián)結(jié)AE、BF交于點(diǎn)H..請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；
（2）如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BF于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，試判斷線段BF與GE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)GF、HD．
求證：①FG+BE≥BF；
②∠HGF=∠HDF．

Answer 1

【答案】分析：（1）證△ABE≌△BCF，推出AE=BF，∠BAE=∠CBF，求出∠CBF+∠AEB=90°，求出∠BHE=90°即可；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥GE交BC于M，證△ABM≌△BCF，推出AM=BF，根據(jù)AM∥GE且AD∥BC推出AM=GE即可；
（3）①過(guò)點(diǎn)B作BN∥FG，且使BN=FG，連接NG、NE，根據(jù)四邊形NBFG是平行四邊形的性質(zhì)求出BF=NG，BF∥NG，求出△NGE為等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，即NE=BF，即可求出答案；②證G、H、F、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠HGF=∠HDF即可．
解答：（1）解：AE=BF且AE⊥BF，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵在△ABE和△BCF中

∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BHE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF．

（2）BF=GE，
證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥GE交BC于M，
∵EG⊥BF，
∴AM⊥BF，
∴∠BAM+∠ABF=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAM=∠CBF，
∵在△ABM和△BCF中

∴△ABM≌△BCF（ASA），
∴AM=BF，
∵AM∥GE且AD∥BC，
∴AM=GE，
∴BF=GE；

（3）證明：①：過(guò)點(diǎn)B作BN∥FG，且使BN=FG，
連接NG、NE，
∴四邊形NBFG是平行四邊形，
∴BF=NG，BF∥NG，
由（2）可知，BF⊥GE，且BF=GE，
∴NG⊥EG且NG=EG，
∴△NGE為等腰直角三角形，
由勾股定理得NE=NG，
∴NE=BF，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D不重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，N、B、E三點(diǎn)不共線，
此時(shí)，在△BEN中，NB+BE＞NE，即FG+BE＞BF，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，N、B、E三點(diǎn)共線，
此時(shí)，NB+BE=NE，即FG+BE=BF；

②證明：∵正方形ABCD
∴∠ADC=90°
以GF為直徑作⊙P，則點(diǎn)D在⊙P上
∵∠GHF=90°
∴點(diǎn)H也在⊙P上
∴∠HGF=∠HDF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，正方形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．