Question

17．如圖，已知點D在△ABC邊BC上，且與B，D不重合，AC∥DE，AB∥DF，BC=5．
（1）求證：△BDE∽△DCF；
（2）設(shè)S_△ABC=S，若S_{四邊形AEDF}=$\frac{2}{5}$S，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AC∥DE，AB∥DF，可以得到△BDE∽△DCF的條件；
（2）根據(jù)相似三角形的面積之比等于對應邊的比的平方和S_△ABC=S，若S_{四邊形AEDF}=25S，可以求得BD的長．

解答 （1）證明：∵AC∥DE，AB∥DF，
∴∠EDB=∠C，∠B=∠FDC，
∴△BDE∽△DCF；
（2）設(shè)BD=x，則CD=5-x，
∵AC∥DE，AB∥DF，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△BCA}}=（\frac{x}{5}）^{2}=\frac{{x}^{2}}{25}$，$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△CBA}}=（\frac{5-x}{5}）^{2}=\frac{（5-x）^{2}}{25}$，
∵S_△ABC=S，若S_{四邊形AEDF}=$\frac{2}{5}$S，
∴${S}_{△BDE}=\frac{{x}^{2}}{25}S$，${S}_{△FDC}=\frac{（5-x）^{2}}{25}S$，
∴$\frac{{x}^{2}}{25}S+\frac{（x-5）^{2}}{25}S=S-\frac{2}{5}S$，
解得，x=$\frac{5±\sqrt{5}}{2}$，
即BD的長是$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．