Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸的負(fù)半軸上，邊在軸的正半軸上，且，，矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形．點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)．

（1）判斷點(diǎn)是否在軸上，并說明理由；

（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在軸的上方是否存在點(diǎn)，點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點(diǎn)在拋物線上，若存在，請求出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）點(diǎn)在軸上

理由如下：

連接，如圖所示，在中，，，

，

由題意可知：

點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上．

（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

，

在中，，

點(diǎn)在第一象限，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

由（1）知，點(diǎn)在軸的正半軸上

點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)的坐標(biāo)為

拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

由題意，將，代入中得

　 解得

所求拋物線表達(dá)式為：

（3）存在符合條件的點(diǎn)，點(diǎn)．

理由如下：矩形的面積

以為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為．

由題意可知為此平行四邊形一邊，

又

邊上的高為2

依題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)在拋物線上

解得，，

，

以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

，，

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，；

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，

點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．