Question

10．如圖，已知AB為⊙O直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F，cos∠BAC=$\frac{3}{5}$
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AF=8，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）連接BD，過D作DH⊥AB于H，根據(jù)cos∠DOH=cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，設(shè)OD=5x，則 AB=10x，OH=3x，DH=4x．由勾股定理得：AD²=80x²，證△EAD∽△DAB求出AD²=AE•AB=AE•10x，得出AE=8x，根據(jù)△ODF∽△EAF即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O切線；

（2）解：過D作DH⊥AB于H，連接BD、OD，
則∠CAB=∠DOH，
∵cos∠DOH=cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
設(shè)OD=5x，則 AB=10x，OH=3x，DH=4x．
在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD²=（4x）²+（5x+3x）²=80x²，
∵DE⊥AC，AB是⊙O直徑，
∴∠AED=∠ADB=90°，
∵∠EAD=∠BAD（角平分線定義），
∴△EAD∽△DAB，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AD²=AE•AB=AE•10x，
∴AE=8x，
∵OD∥AE，
∴△ODF∽△EAF，
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{OD}$=$\frac{8x}{5x}$=$\frac{8}{5}$，
∵AF=8，
∴DF=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線判定和性質(zhì)，切線判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．