Question

如圖，已知拋物線y=-

1

4

ax²+m（a≠0）的頂點(diǎn)是A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)（-

2

，0）成中心對(duì)稱．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若直線y=

2

2

x+m與拋物線y=-

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4

ax²+a經(jīng)過點(diǎn)B，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，點(diǎn)M是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸交直線y=2于點(diǎn)Q，連接OM，求證：MQ=OM．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)解析式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱中心即可求得對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）把B（-2

2

，-m）代入直線y=

2

2

x+m中，求得m的值，從而得到B（-2

2

，-1），代入拋物線y=-

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4

ax²+a中，求得a的值，從而求得拋物線的解析式；
（3）設(shè)Q（m，-

1

4

m²+1），根據(jù)勾股定理求得OM的值，和QM進(jìn)行比較即可判定；

解答：（1）解：由拋物線y=-

1

4

ax²+m（a≠0）可知頂點(diǎn)A（0，m），
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)（-

2

，0）成中心對(duì)稱，
∴B（-2

2

，-m）；

（2）解：∵直線y=

2

2

x+m經(jīng)過點(diǎn)B（-2

2

，-m），
∴-m═

2

2

×（-2

2

）+m，
解得：m=1，
∴B（-2

2

，-1），
代入拋物線y=-

1

4

ax²+a得：-1=-

1

4

a（-2

2

^）2+a，
解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

4

x²+1；

（3）證明：如圖，設(shè)Q（m，-

1

4

m²+1），
∵OM=

m2+(- 1 4

m+1)2=

( 1 4

m2+1)2=

1

4

m²+1，
∵作MQ⊥x
∴QM=2-（-

1

4

m²+1）=

1

4

m²+1，
∴OM=QM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，中心對(duì)稱點(diǎn)的求法，拋物線的解析式的求法，以及勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)對(duì)稱中心求得對(duì)稱點(diǎn)是本題的難點(diǎn)．