Question

4．觀察下面由“※”組成的圖案（如圖）及算式，解答下列問題：
1+3=2²，1+3+5=3²；1+3+5+7=4²；1+3+5+7+9=5²．
（1）根據(jù)規(guī)律，猜想1+3+5+7+9+…+19=100；
（2）根據(jù)規(guī)律：猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=（n+2）²；
（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：1001+1003+1005+…+2011+2013．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定等式的變化，即可得出1+3+5+7+9+…+19的值；
（2）根據(jù)給定等式的變化，即可得出變化規(guī)律“1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=$（\frac{2n+3+1}{2}）^{2}$=（n+2）²”，依次規(guī)律即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，即可得出1001+1003+1005+…+2011+2013=$（\frac{2013+1}{2}）^{2}$-$（\frac{999+1}{2}）^{2}$，此題得解．

解答 解：（1）∵1+3=2²=$（\frac{3+1}{2}）^{2}$，1+3+5=3²=$（\frac{5+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7=4²=$（\frac{7+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7+9=5²=$（\frac{9+1}{2}）^{2}$，
∴1+3+5+7+9+…+19=$（\frac{19+1}{2}）^{2}$=100．
（2）∵1+3=2²=$（\frac{3+1}{2}）^{2}$，1+3+5=3²=$（\frac{5+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7=4²=$（\frac{7+1}{2}）^{2}$，1+3+5+7+9=5²=$（\frac{9+1}{2}）^{2}$，…，
∴1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=$（\frac{2n+3+1}{2}）^{2}$=（n+2）²．
（3）1001+1003+1005+…+2011+2013=（1+3+5+…+2013）-（1+3+5+…+999）=$（\frac{2013+1}{2}）^{2}$-$（\frac{999+1}{2}）^{2}$=764049．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化，根據(jù)等式的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．