Question

3．【問題情境】（1）如圖1，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，連接CE、BE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接DF，試探究DF和BE的數(shù)量關(guān)系；
【猜想證明】（2）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組在探究DF和BE的數(shù)量關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過驗(yàn)證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時(shí)，DF=$\frac{1}{2}$BE，當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，結(jié)論DF=$\frac{1}{2}$BE還成立嗎？請(qǐng)給出證明；
【拓展延伸】（3）試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：不論點(diǎn)D在什么位置，總有DF=$\frac{1}{2}$BE，試在一般情況下（如圖3）證明這個(gè)結(jié)論．

Answer 1

分析 【猜想證明】如圖2，延長(zhǎng)ED，交BC于N，連接AN，CN，再根據(jù)SAS判定△ABE≌△ACN，進(jìn)而得出BE=CN，最后根據(jù)根據(jù)三角形的中位線，得到DF=$\frac{1}{2}$CN，等量代換即可得到結(jié)論；
【拓展延伸】如圖3，與上面類似，先延長(zhǎng)ED，交BC于N，連接AN，CN，再根據(jù)SAS判定△ABE≌△ACN，進(jìn)而得出BE=CN，最后根據(jù)根據(jù)三角形的中位線，得到DF=$\frac{1}{2}$CN，等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：【猜想證明】（2）如圖2，延長(zhǎng)ED到N，使DN=DE，連接AN，CN，
∵AD⊥EN，D是EN的中點(diǎn)，即AD垂直平分EN，
∴AE=AN，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠AED=45°，
∴∠AND=45°，
∴∠EAN=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAN，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠BAE=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACN（SAS），
∴BE=CN，
∵F是CE的中點(diǎn)，D是EN的中點(diǎn)，
∴DF是△ECN的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$BE；

【拓展延伸】（3）證明：延長(zhǎng)ED到N，使DN=DE，連接AN，CN，
∵AD⊥EN，D是EN的中點(diǎn)，即AD垂直平分EN，
∴AE=AN，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠AED=45°，
∴∠AND=45°，
∴∠EAN=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAN，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，
在△ABE和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠BAE=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACN（SAS），
∴BE=CN，
∵F是CE的中點(diǎn)，D是EN的中點(diǎn)，
∴DF是△ECN的中位線，
∴DF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{1}{2}$BE．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形以及全等三角形，依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論．解題時(shí)注意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．