Question

如圖，D、E是Rt△ABC的邊AB、BC的中點，M、N在斜邊AC上，且AM=MN=CN，DM、EN的延長線交于點P．求證：
（1）四邊形BNPM是平行四邊形；
（2）四邊形ABCP是矩形．

Answer 1

考點：矩形的判定,平行四邊形的判定

專題：證明題

分析：（1）利用中位線的性質定理得到DM∥BN、NE∥BM，利用兩組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可；
（2）首先判定四邊形ABCP是平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行判定．

解答：證明：（1）連接BP，交AC于點O．
∵AD=BD，AM=MN，
∴DM是△ABN的中位線，
∴DM∥BN，同理NE∥BM，
∴四邊形BNPM是平行四邊形；

（2）∵四邊形BNPM是平行四邊形，
∴BO=PO，MO=NO，
∵AM=CN，
∴OA=OC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∵∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定及性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形、矩形的判定定理，難度不大．