Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在軸、軸的正半軸上，，，D為邊OB的中點(diǎn).

（Ⅰ）若為邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△的周長最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若、為邊上的兩個動點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長最小時，求點(diǎn)、的坐標(biāo).

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)E，連接.

若在邊上任取點(diǎn)（與點(diǎn)E不重合），連接、、.

由，

可知△的周長最小.

∵ 在矩形中，，，為的中點(diǎn)，

∴ ，，.

∵ OE∥BC，

∴ Rt△∽Rt△，有.

∴ .

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）.        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，在邊上截取，連接與軸交于點(diǎn)，在上截取.

∵ GC∥EF，，

∴ 四邊形為平行四邊形，有.

又 、的長為定值，

∴ 此時得到的點(diǎn)、使四邊形的周長最小.

∵ OE∥BC，

∴ Rt△∽Rt△, 有 .

∴ .

∴ .

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分