Question

已知：將兩個(gè)等腰Rt△ABC和Rt△BDE（∠BDE=∠ACB=90°）如圖1所示擺放，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連CF、DF．

（1）CF、DF的關(guān)系為

 

，∠DFC的度數(shù)為

 

；
（2）若將Rt△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度α，在旋轉(zhuǎn)的過程中其它的條件均不變．
①如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由；
②如圖3，當(dāng)0°≤α≤360°，（1）中結(jié)論是否成立，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明CF=DF，進(jìn)而可求出∠DFC=90°；
（2）①（1）中的結(jié)論仍舊成立．延長CF交BE與點(diǎn)H，連接CD，DE易證△AFC≌△EFH，利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件可證明△DCH是等腰直角三角形，從而證明結(jié)論成立；②（1）中的結(jié)論仍舊成立．延長CF至R，使FR=CF，連接DC，DR，根據(jù)①中的證明思路即可得到CF=DF，∠DFC=90°．

解答：解：（1）CF=DF，90°，
∵CF，DF都是斜邊AE的中線，
∴CF=DF=FE，
∴∠FCE=∠FEC，∠FDE=∠FED，
∴∠DFC=∠DFA+∠AFC=2（∠FEC+∠FED）=2×45°=90°，
故答案為：CF=DF，90°；
（2）①（1）中的結(jié)論仍舊成立，理由如下：
延長CF交BE與點(diǎn)H，連接CD，DE，
∵AC∥BE，
∴∠CAF=∠HEF，
∵∠AFC=∠EFH，AF=FE，
在△AFC和△EFH中，

∠AFC=∠EFH ∠CAF=∠HEF AF=FE

，
∴△AFC≌△EFH（AAS），
∴CF=FH，AC=HE=CB，
∵∠CBD=∠HED=45°，BD=ED，
在△CBD和△HED中，

BC=HE ∠CBD=∠HED=45° BD=DE

，
∴△CBD≌△HED（SAS），
∴CD=HD，∠CDB=∠HDE，
∴∠CDH=∠BDE=90°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CF=CD，∠DFC=90°；
②（1）中的結(jié)論仍舊成立延長CF至R，使FR=CF，連接DC，DR，
在△AFC和△EFR中，

CF=FR ∠AFC=∠EFR AF=FE

，
∴△AFC≌△EFR（SAS），
∴ER=AC=CB，
∴∠CAF=∠REF，
∴∠RED=360°-（∠DEA+∠REF）=360°-（∠DEA+∠CAEF）=360°-（540°-∠ACB-∠CBD-∠BDE）=360°-540°+90°+∠CBD+90°=∠CBD，
在△RED和△CBD中，

RE=CB ∠RED=∠CBD DE=DB

，
∴△RED≌△CBD（SAS），
∴DC=DR，∠BDC=EDR，
∴∠CDR=∠BDE=90°，
∴△DCR是等腰直角三角形，
∴CF=CD，∠DFC=90°．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形外角和定理，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大．