Question

如圖，四邊形ABCD中，CD∥AB，E是AD中點，CE交BA延長線于點F．
（1）試說明：CD=AF；
（2）若BC=BF，試說明：BE⊥CF．

Answer 1

證明：（1）∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠FAE，
又∵E是AD中點，
∴DE=AE，
又∵∠AEF=∠DEC，
∴△CDE≌△FAE，
∴CD=AF；

（2）∵BC=BF，
∴△BCF是等腰三角形，
又∵△CDE≌△FAE，
∴CE=FE，
∴BE⊥CF（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相互重合）．
分析：（1）由CD∥AB，可得∠CDE=∠FAE，而E是AD中點，因此有DE=AE，再有∠AEF=∠DEC，所以利用ASA可證△CDE≌△FAE，再利用全等三角形的性質(zhì)，可得CD=AF；
（2）先利用（1）中的三角形的全等，可得CE=FE，再根據(jù)BC=BF，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可證BE⊥CF．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；證明△CDE≌△FAE是正確解答本題的關(guān)鍵．