Question

如圖，以AB為直徑的半圓O 交AC于點(diǎn)D，且點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，AE交半圓O于點(diǎn)F，BF的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)G.

（1）求證：DE為半圓O的切線；

（2）若，，求EF的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明：連接OD.  ························· 1分

∵AB為半圓O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，

∴∥BC .  ························ 2分

∵DE⊥BC，∴DE⊥DO，又∵點(diǎn)D在圓上，

∴DE為半圓O的切線.  ···················· 4分

（2）解：∵AB為半圓O的直徑，DE⊥BC ，

 ∴AF⊥BF，∴∠GEB=∠GFE=，

∵∠BGE=∠EGF ，  ∴△BGE∽△EGF

∴，∴

（也可以由射影定理求得）

∵，，  ∴. ··············· 6分

在Rt△EGF中，由勾股定理得：.  ··········· 8分