Question

11．如圖，二次函數(shù)y=-x²+4x與一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象相交于點(diǎn)A．
（1）如圖1，請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)； 
（2）如圖2，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）如圖3，連結(jié)拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得到△POA，求△POA的面積；
（4）如圖4，在拋物線上存在一點(diǎn)M（M與P不重合）使△MOA的面積等于△POA的面積，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）用配方法配成頂點(diǎn)式；
（2）聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將不特殊圖形用割補(bǔ)法求面積；
（4）利用同底等高的方法求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意，y=-x²-4x=-（x-2）²-4，
∴二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P（2，4），
（2）∵二次函數(shù)y=-x²+4x與一次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象相交于點(diǎn)A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y={-x}^{2}+4x}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{4}$），
（3）如圖1，

作⊥x軸于點(diǎn)Q，AB⊥x軸于點(diǎn)B，
∴S_△POA=S_△POQ+S_梯形PQBA-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×OQ×PQ+$\frac{1}{2}$（AB+PQ）×BQ-$\frac{1}{2}$×OB×AB
=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×（$\frac{7}{4}$+4）×（$\frac{7}{2}$-2）-$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{2}×\frac{7}{4}$
=$\frac{21}{4}$；
（4）如圖2，①點(diǎn)點(diǎn)M在直線OA上方時(shí)，
過(guò)P作OA的平行線，交拋物線于M，連接OM，AM，

∴S_△AOM=S_△AOP；
設(shè)直線PM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+b，
∵P（2，4），
∴4=$\frac{1}{2}$×2+b，
∴b=3，
∴直線PM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3①．
∵點(diǎn)M在拋物線y=-x²+4x②的圖象上，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
②由①知，直線PM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3．
利用對(duì)稱性得出另一條滿足條件的直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3③，
聯(lián)立②③得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+\sqrt{97}}{4}}\\{y=\frac{-17+\sqrt{97}}{8}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-\sqrt{97}}{4}}\\{y=\frac{-17-\sqrt{97}}{8}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{7+\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17+\sqrt{97}}{8}$）或（$\frac{7-\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17-\sqrt{97}}{8}$），
即：滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．或（$\frac{7+\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17+\sqrt{97}}{8}$）或（$\frac{7-\sqrt{97}}{4}$，$\frac{-17-\sqrt{97}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查求圖形的交點(diǎn)，用割補(bǔ)法求圖形的面積等知識(shí)點(diǎn)，解本體的關(guān)鍵是割補(bǔ)法求不特殊圖形的面積，難點(diǎn)是同底等高的三角形面積的運(yùn)用．