Question

1．已知點A的坐標為（3，4），點B為直線x=-1上的動點，設點B的坐標為（-1，y）
（Ⅰ）如圖①，若點C的坐標為（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC于點C，求y與x之間的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，y是否有最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由；
（Ⅲ）如圖②，當點B的坐標為（-1，1）時，在x軸上另取兩點E，F(xiàn)，且EF=1，線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最�。壳蟪龃藭r點E的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)相似三角形的判定定理證明∴△BCD∽△CAE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出y與x之間的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；
（Ⅲ）過點A作x軸的平行線，在這條平行線上取線段AA′=1，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′交x軸于得E，在x軸上取EF=1，此時四邊形ABEF的周長最小，求出直線A′B′的解析式，以及它與x軸的交點，得到點E的坐標．

解答 解：（Ⅰ）如圖1，作AE⊥x軸于E，又∵BC⊥AC，
∴∠BCD+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠A，又∠CDB=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴$\frac{BD}{CE}$=$\frac{CD}{AE}$，
∵A的坐標為（3，4），B的坐標為（-1，y），C的坐標為（x，0），
∴$\frac{y}{3-x}$=$\frac{x+1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$（-1＜x＜3）；
（Ⅱ）∵y=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+1，∴當x=1時，y有最大值1；
（Ⅲ）如圖2，過點A作x軸的平行線，在這條平行線上取線段AA′=1，
作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′交x軸于得E，在x軸上取EF=1，
此時四邊形ABEF的周長最小，
∵點A的坐標為（3，4），點A′的坐標為（2，4），
∵點B的坐標為（-1，1），∴點B′的坐標為（-1，-1），
設直線A′B′的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
直線y=$\frac{5}{3}$x+$\frac{2}{3}$與x軸的交點E的坐標為（-$\frac{2}{5}$，0），
∴線段EF平移到如圖2所示的位置時，四邊形ABEF的周長最小，
此時點E的坐標為（-$\frac{2}{5}$，0）．

點評 本題考查的是一次函數(shù)的知識、二次函數(shù)的知識、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)最大值的求法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．