Question

9．某地質(zhì)公園為了方便游客，計劃修建一條棧道BC連接兩條進(jìn)入觀景臺OA的棧道AC和OB，其中AC⊥BC，同時為減少對地質(zhì)地貌的破壞，設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū)⊙M（如圖所示），M是OA上一點，⊙M與BC相切，觀景臺的兩端A、O到⊙M上任意一點的距離均不小于80米．經(jīng)測量，OA=60米，OB=170米，tan∠OBC=$\frac{4}{3}$．
（1）求棧道BC的長度； 
（2）當(dāng)點M位于何處時，可以使該圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

Answer 1

分析 （1）過C點作CE⊥OB于E，過A作AF⊥CE于F，設(shè)出AF，然后通過解直角三角形求得CE，進(jìn)一步得到BE，然后由勾股定理得出答案；
（2）設(shè)BC與⊙M相切于Q，延長QM交直線BO于P，設(shè)OM=x，把PB、PQ用含有x的代數(shù)式不是，再結(jié)合觀景臺的兩端A、O到⊙M上任意一點的距離均不小于80米列式求得x的范圍，得到x取最小值時圓的半徑最大，即圓形保護(hù)區(qū)的面積最大．

解答 解：（1）如圖1，過C點作CE⊥OB于E，過A作AF⊥CE于F，
∵∠ACB=90°∠BEC=90°，
∴∠ACF=∠CBE，
∴tan∠ACF=tan∠OBC=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AF=4x，則CF=3x，
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x，EF=OA=60，
∴CE=3x+60，
∵tan∠OBC=$\frac{4}{3}$．
∴BE=$\frac{3}{4}$CE=$\frac{9}{4}$x+45，
∴OB=OE+BE=4x+$\frac{9}{4}$x+45，
∴4x+$\frac{9}{4}$x+45=170，
解得：x=20，
∴CE=120（米），BE=90（米），
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=150（米）．
（2）如圖2，設(shè)BC與⊙M相切于Q，延長QM交直線BO于P，
∵∠POM=∠PQB=90°，
∴∠PMO=∠CBO，
∴tan∠OBC=$\frac{4}{3}$．
∴tan∠PMO=$\frac{4}{3}$．
設(shè)OM=x，則OP=$\frac{4}{3}$x，PM=$\frac{5}{3}$x，
∴PB=$\frac{4}{3}$x+170，
在RT△PQB中，tan∠PBQ=$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{4}{5}$，
∴PQ=$\frac{4}{5}$（$\frac{4}{3}$x+170）=$\frac{16}{15}$x+136，
設(shè)⊙M的半徑為R，
∴R=MQ=$\frac{16}{15}$x+136-$\frac{5}{3}$x=136-$\frac{3}{5}$x，
∵A、O到⊙M上任意一點的距離均不小于80米，
∴R-AM≥80，R-OM≥80，
∴136-$\frac{3}{5}$x-（60-x）≥80，136-$\frac{3}{5}$x-x≥80，
解得：10≤x≤35，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=10時R取最大值，
∴OM=10米時，保護(hù)區(qū)的面積最大．

點評 本題考查了圓的切線，考查了直線和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于對題意的理解．