Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上一點，且∠A=2∠DCB．E是BC邊上的一點，以EC為直徑的⊙O經(jīng)過點D．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若CD的弦心距為1，BE=EO，求BD的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠DCB=∠ODC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到結(jié)論；（2）2

【解析】

試題分析：（1）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠DCB=∠ODC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，即可得到∠A=∠DOB，由∠ACB=90°，可得∠A+∠B=90°，即可得到結(jié)論；

（2）過點O作OM⊥CD于點M，連接DE，根據(jù)垂徑定理可得CM=DM，又O為EC的中點，可得OM為△DCE的中位線，即可求得DE的長，在Rt△OCM中，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2OM=2，Rt△BDO中，OE=BE，可得DE=BO，即得BO=BE+OE=2OE=4，在Rt△BDO中，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．

（1）連接OD，

∵OD=OC，

∴∠DCB=∠ODC，

又∠DOB為△COD的外角，

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，

又∵∠A=2∠DCB，

∴∠A=∠DOB，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠DOB+∠B=90°，

∴∠BDO=90°，

∴OD⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）過點O作OM⊥CD于點M，連接DE

∵OM⊥CD，

∴CM=DM，又O為EC的中點，

∴OM為△DCE的中位線，且OM=1，

∴DE=2OM=2，

∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，

∴OC=2OM=2，

∵Rt△BDO中，OE=BE，

∴DE=BO，

∴BO=BE+OE=2OE=4，

∴OD=OE=2，

在Rt△BDO中，根據(jù)勾股定理得BD=2．

考點：圓的綜合題

點評：圓的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.