Question

16．如圖，在等邊△ABC中，AB=1，D為AB邊的中點，E為直線AC上一點，連接ED并延長，在ED的延長線上取點F，使DF=DE，連接AF，BF，BE．
（1）證明：四邊形AFBE是平行四邊形
（2）當(dāng)CE=$\frac{1}{2}$時，四邊形AFBE是矩形；
    當(dāng)CE=0時，四邊形AFBE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；
（2）①設(shè)CE=x，四邊形AFBE是矩形，因此∠BEC=90°，再利用勾股定理表示出BE²，然后再利用勾股定理可得（1-x）²+1-x²=1²，再解即可；
②當(dāng)E在AB的垂直平分線上時，四邊形AFBE是菱形，因此E和C重合，故CE=0．

解答 （1）證明：∵D為AB邊的中點，
∴AD=BD，
∵DF=DE，
∴四邊形AFBE是平行四邊形；

（2）解：①設(shè)CE=x，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC=AB=1，
∵CE=x，
∴AE=1-x，
當(dāng)四邊形AFBE是矩形時，則∠AEC=90°，
∴EB²=BC²-CE²，
∴EB²=1-x²，
∵AE²+BE²=AB²，
∴（1-x）²+1-x²=1²，
解得：x=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$；

②當(dāng)E在AB的垂直平分線上時，四邊形AFBE是菱形，
∵△ABC是等邊三角形，D為AB邊的中點，
∴E應(yīng)與C重合，
∴CE=0，
故答案為：0．

點評 此題主要考查了菱形、矩形、平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握三種四邊形的判定定理．