Question

已知拋物線y=

1

4

x²+bx+c過點（-2，4），與y軸的交點為B（0，1）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點A的坐標(biāo)．
（2）在拋物線上是否存在一點C．是∠BAC=90°？若不存在，說明理由；若存在，求出點C的坐標(biāo)．
（3）P、Q為拋物線上的兩點，且橫坐標(biāo)分別為4和6，在x軸、y軸上分別有兩個動點M、N．當(dāng)PM+MN+NQ最小時，求出M、N兩點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將已知兩點的坐標(biāo)代入解析式求出系數(shù)b、c的值就可以求出其解析式，然后轉(zhuǎn)化為頂點式就可以求出點A的坐標(biāo)．
（2）假設(shè)存在點C，設(shè)出點C的坐標(biāo)，利用三角形相似求出相應(yīng)的線段的長度，就可以求出點C的坐標(biāo)．
（3）這是一個軸對稱問題，根據(jù)P、Q的橫坐標(biāo)可以求出P、Q的坐標(biāo)，分別作P、Q關(guān)于x軸、y軸的對稱點P′、Q′，求出P′Q′的解析式，求出該解析式與x軸和y軸的交點坐標(biāo)就是M點和N點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線過（-2，4）和（0，1）兩點．
∴

4=1-2b+c c=1

解得

b=-1 c=1

∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-x+1
y=

1

4

（x-2）²
∴頂點A的坐標(biāo)為：（2，0）；

（2）假設(shè)存在C使∠BAC=90°，設(shè)C（t，

1

4

t2-t+1），
如圖1，過C點作CD⊥x軸于D，則D（t，0），
∴CD=

1

4

t2-t+1，AD=t-2，
∵∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
∴△BAO∽△ACD，
∴

AD

BO

=

CD

AO

，即

t-2

1

=

1 4 t2-t+1

2

，
解得t=2或t=10，
∴C（10，16）；

（3）∵點P點Q在拋物線上，且橫坐標(biāo)分別為4和6，
∴P（4，1），Q（6，4），
∴點P關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標(biāo)為（4，-1），
點Q關(guān)于y軸的對稱點Q′的坐標(biāo)為（-6，4），
∵PM=P′M，QN=Q′N，
∴當(dāng)P′、M、N、Q′四點共線時，PM+MN+NQ的值最小，
∵P′Q′的解析式為y=-

1

2

x+1，
∴此時M（2，0），N（0，1）．

點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法就函數(shù)的解析式，滿足條件的點的坐標(biāo)，利用軸對稱的性質(zhì)求最小值，相似三角形的判定及性質(zhì)．