Question

已知點(diǎn)A（﹣1，﹣1）在拋物線y=（k²﹣1）x²﹣2（k﹣2）x+1上，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱。
（1）求k的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）是否存在與此拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)B的直線？如果存在，求出符合條件的直線的解析式；如果不存在，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，將x=﹣1，y=﹣1，
代入拋物線的解析式，得（k²﹣1）×（﹣1）²﹣2（k﹣2）×（﹣1）+1=﹣1
解得k₁=1，k₂=﹣3．由于k²﹣1≠0，
所以k=﹣3
拋物線的解析式是y=8x²+10x+1，
對(duì)稱軸為直線x=﹣，
∴點(diǎn)B和點(diǎn)A（﹣1，﹣1）關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱，
∴B（﹣）；
（2）存在，理由如下：設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的解析式是y=mx+n，
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得m﹣4n=4，①
又∴要使直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
只要使方程mx+n=8x²+10x+1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
方程mx+n=8x²+10x+1整理得，8x²+（10﹣m）x+1﹣n=0，
得△=（10﹣m）²﹣3²（1﹣n）=0②
將①代②，解出，m=6，n=，則它的解析式是y=6x+，
又有過(guò)點(diǎn)B，平行于y軸的直線與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即x=﹣，
答：直線的解析式y(tǒng)=6x+或x=﹣。