Question

已知直線y=

1

2

x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C，點(diǎn)B落在點(diǎn)D，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、D、C，其對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)P，
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求∠POC的正切值；
（3）點(diǎn)M在x軸上，且△ABM與△APD相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸解析式，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，則PQ∥y軸，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OPQ=∠POC，然后利用點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)銳角的正切值的定義列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)點(diǎn)M在x軸上，且△ABM與△APD相似可知，點(diǎn)M一定在點(diǎn)A的右側(cè)，然后求出AP、AB、AD的長(zhǎng)度，因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊不明確，所以分①AP和AB是對(duì)應(yīng)邊，②AP和AM是對(duì)應(yīng)邊，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AM的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x+1=0，解得x=-2，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
所以A（-2，0），B（0，1），
∵△AOB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，
∴C（0，2），D（1，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A、D、C，
∴

4a-2b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
解得

a=-1 b=-1 c=2

，
∴拋物線解析式為y=-x²-x+2；

（2）根據(jù)（1），拋物線對(duì)稱軸為x=-

b

2a

=-

-1

2×(-1)

=-

1

2

，

1

2

×（-

1

2

）+1=

3

4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

1

2

，

3

4

），
過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，則PQ∥y軸，
∴∠POC=∠OPQ，
∵tan∠OPQ=

1 2

3 4

=

2

3

，
∴tan∠POC=

2

3

；

（3）∵點(diǎn)M在x軸上，且△ABM與△APD相似，
∴點(diǎn)M必在點(diǎn)A的右側(cè)，
AP=

[-2-(- 1 2 ) ]2+(0- 3 4 )2

=

3 5

4

，
AB=

22+12

=

5

，
AD=1-（-2）=1+2=3，
∵∠A=∠A，
∴①AP和AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

AP

AB

=

AD

AM

，
即

3 5 4

5

=

3

AM

，
解得AM=4，
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，0），
則x-（-2）=4，
解得x=2，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），
②AP和AM是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，

AP

AM

=

AD

AB

，
即

3 5 4

AM

=

3

5

，
解得AM=

5

4

，
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，0），
則x-（-2）=

5

4

，
解得x=-

3

4

，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

3

4

，0），
綜上所述，存在點(diǎn)M（2，0）或（-

3

4

，0），使△ABM與△APD相似．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，有旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，銳角三角形函數(shù)，兩點(diǎn)間的距離公式，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，綜合性較強(qiáng)，求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．