Question

如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長(zhǎng)分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠?jī)杉埌宸胖�，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移�?dòng)．當(dāng)紙板Ⅰ移動(dòng)至處時(shí)，設(shè)與分別交于點(diǎn)，與軸分別交于點(diǎn)．

（1）求直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試探究：

①點(diǎn)到軸的距離與線(xiàn)段的長(zhǎng)是否總相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長(zhǎng)為1和2，知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．設(shè)直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

有解得

所以，直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

（2）①點(diǎn)到軸距離與線(xiàn)段的長(zhǎng)總相等．

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．

又因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，

所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為點(diǎn)，則有．

因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以有．

因?yàn)榧埌鍨槠叫幸苿?dòng)，故有，即．

又，所以．

法一：故，

從而有．

得，．

所以．

又有．

所以，得，而，

從而總有．

法二：故，可得．

故．

所以．

故點(diǎn)坐標(biāo)為．

設(shè)直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，

則有解得

所以，直線(xiàn)所對(duì)的函數(shù)關(guān)系式為．

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得．解得．

而，從而總有．

②由①知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

．

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．

取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．