Question

10．拋物線y=ax²+c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，P（1，-3），B（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若F為x軸上一點，且FO=OP，求點F的坐標；
（3）若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）設F（q，0），利用已知條件FO=OP列出關于q的方程，通過解方程求得q的值，易得F點的坐標；
（3）根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點關于對稱軸對稱，可得D點坐標；

解答 解：（1）將P（1，-3）、B（4，0）代入y=ax²+c，得
$\left\{\begin{array}{l}16a+c=0\\ a+c=-3\end{array}\right.$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$．
拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{5}$x²-$\frac{16}{5}$；

（2）設F（q，0），則1²+3²=q²，
解得：q=$±\sqrt{10}$，
∴點F的坐標為$（{\sqrt{10}，0}）$，$（{-\sqrt{10}，0}）$；

（3）如圖1：當D在P左側(cè)時，
由∠DPO=∠POB得DP∥OB．
D與P關于y軸對稱，P（1，-3）得D（-1，-3）．
如圖2，當D在P右側(cè)時，即圖中D₂，則∠D₂PO=∠POB，延長PD₂交x軸于Q，則QO=QP，
設Q（q，0），則（q-1）²+3²=q²，解得：q=5，
∴Q（5，0），
則直線PD₂為y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{4}$，
再聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{15}{4}}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$ 得：x=1或$\frac{11}{4}$，
∴D₂（$\frac{11}{4}$，-$\frac{27}{16}$ ）．
∴點D的坐標為（-1，-3）或（$\frac{11}{4}，-\frac{27}{16}$）．

點評 本題綜合考查拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法、二次函數(shù)的應用等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，所以中考�？碱}型．