Question

如圖，已知⊙O中，弦BC＝8，A是BAC的中點，弦AD與BC交于點E，

AE＝5，ED＝，M為弧BDC上的動點，（不與B、C重合），AM交BC于N.

（1）求證：AB²=AE·AD；

（2）當M在弧BDC上運動時，問AN·AM、AN·NM中有沒有值保持不變的？有的話，試求出此定值；若不是定值，請求出其最大值；

（3）若F是CB延長線上一點，FA交⊙O于G，當AG＝8時，求sin∠AFB的值．

Answer 1

如圖（1），證明：（1）連BD

∵   ∴∠ABC=∠ADB

又∵∠BAE=∠DAB   ∴△ABE∽△ADB

∴    ∴

（2）連結BM，圖（2）同（1）可證△ABM∽△ANB，

則  ∴

∴=

即為定值． 設BN=x，則CN=（8-x）

∵

故當BN=x=4時， 有最大值為16．

（3）作直徑AH交BC于K，連結GH，如圖（3），

∵A是弧BAC的中點  ∴AH⊥BC，且

∴

∴AK=8又由得：

∴AH=10    又∵∠AGH=∠BKF=90°，

且∠GAH=∠KAF，∴∠F=∠H

∴sinsin