Question

如圖，已知四邊形ABCD、AEFG均為正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．
（1）求證：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）設(shè)正方形ABCD、AEFG的邊長(zhǎng)分別是3和2，線(xiàn)段BD、DE、EG、GB所圍成封閉圖形的面積為S．當(dāng)α變化時(shí)，指出S的最大值及相應(yīng)的α值．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必說(shuō)明理由）

Answer 1

（1）證明：
證法一：
∵四邊形ABCD，AEFG均為正方形
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE
∴將AD、AG分別繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，它們恰好分別與AB、AE重合．即點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)G與點(diǎn)E重合
∴DG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與BE重合
∴BE=DG，且BE⊥DG．
證法二：
∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE
∴∠DAB+α=∠GAE+α
∴∠DAG=∠BAE
①當(dāng)α≠90°時(shí)，由前知△DAG≌△BAE（SAS）
∴BE=DG
∴∠ADG=∠ABE
設(shè)直線(xiàn)DG分別與直線(xiàn)BA、BE交于點(diǎn)M、N
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°
∴∠ABE+∠BMN=90°
∴∠BND=90°
∴BE⊥DG
②當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，顯然BE=DG，且BE⊥DG．
（2）解：當(dāng)α=90°時(shí)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別在BA、DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，形成的圖形是一個(gè)等腰梯形BDEG，通過(guò)觀(guān)察比較可知，
當(dāng)α=90°時(shí)，S有最大值，且S= ×3×2×2+ ×2×2+ ×3×3= ．
當(dāng)S取得最大值時(shí)，α=90°．