Question

如圖所示，△ABC的高AD、BE相交于點(diǎn)H，若BH=AC，則下列結(jié)論：
①AE=CE；②∠ABC=45°；③DH=DC；④∠CED=45°
成立的有（　�。�

• A、①②
• B、①②③
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：①當(dāng)AB=CB時(shí)，該結(jié)論成立，否則不成立；
②求出∠ADC=∠BDH=90°，∠CAD=∠DBH，根據(jù)AAS推出△ADC≌△BDH，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
③根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
④證A、B、D、E四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：①∵BE是△ABC的高，
∴只有當(dāng)AB=CB時(shí)，點(diǎn)E是AC的中線，即AE=CE．
故①錯(cuò)誤；

②∵△ABC的高AD、BE交于點(diǎn)H，
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°，
∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
在△ADC和△BDH中，

∠DAC=∠DBH ∠ADC=∠BDH AC=BH

，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AD=BD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°；
故②正確；

③∵△ADC≌△BDH，
∴DH=DC；
故③正確；

④∵∠AEB=∠ADB=90°，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠CED=∠ABC=45°．
故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：②③④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難度偏大．