Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，點E在DC的延長線上，AE交BC邊于點F，且AE=AB．
（1）如圖1，求證：∠B=∠E：
（2）如圖2，在（1）的條件下，在BC上取一點M，使BM=CE，連接AM，過M作MH⊥AE于H，連接CH，若∠BAE=∠EHC=60°，CF=2，求線段AH的長．

Answer 1

分析：（1）過點A作AG∥CD交BC于點G，AP⊥BC于點P，AQ⊥CD于點Q，連接AC，先可以得出四邊形AGCD是平行四邊形，進而得出平行四邊形AGCD是菱形，由菱形的性質(zhì)就可以得出AP=AQ，從而得出Rt△APB≌Rt△AQE，就可以得出結(jié)論；
（2）在HE上截取HK=CH，連接MK，AC，由條件可以得出△KHC是等邊三角形，由其性質(zhì)就可以得出△ABM≌△AEC，就有△AMC是等邊三角形，進一步得出△MCK≌△ACH，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和△MFK∽△CFH的性質(zhì)得出MF的值，最后運用勾股定理就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）過點A作AG∥CD交BC于點G，AP⊥BC于點P，AQ⊥CD于點Q，連接AC．
∴∠APG=∠AQE=90°．
∵AD∥BC，
∴四邊形AGCD是平行四邊形．
∵AD=CD，
∴平行四邊形AGCD是菱形，
∴∠ACP=∠ACD，
∴AP=AQ．
在Rt△APB和Rt△AQE中

AB=AE AP=AQ

，
∴Rt△APB≌Rt△AQE（HL）
∴∠B=∠E；
（2）在HE上截取HK=CH，連接MK，AC．
∵∠KHC=60°
∴△KHC是等邊三角形，∠AHC=120°
∴CH=CK，∠HKC=60°．
在△ABM和△AEC中

AB=AE ∠B=∠E  BM=CE

，
∴△ABM≌△AEC
∴∠BAM=∠EAC，AM=AC．
∵∠BAE=60°
∴∠MAC=60°
∴△AMC是等邊三角形．
∴AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°，
∴∠MCK=∠ACH，
在△MCK和△ACH中

MC=AC ∠MCK=∠ACH CK=CH

，
∴△MCK≌△ACH，
∴MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°
∴∠MKF=120°-60°=60°
∵MH⊥AH
∴∠HMK=30°
設CH=CK=HK=a
在Rt△MHK中，則有MK=AH=2a
在Rt△MHK中 MH²+HK²=MK²
∴MH=

3

a
∵∠CHF=60°，
∴∠MKF=∠CHF．
∵∠MFK=∠CFH，
∴△MFK∽△CFH，
∴

MK

CH

=

MF

CF

，
∴

2a

a

=

MF

2

，
∴MF=4．
∴AM=MC=4+2=6
在Rt△AHM中 MH²+AH²=AM²
∴(2a)2+(

3

a)2=62，
解得：a1=

6

7

7

a2=-

6

7

7

（舍去）
∴AH=2a=

12

7

7

．

點評：本題考查平行四邊形的判定及性質(zhì)的運用，菱形的判定急性子的運用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時靈活運用等邊三角形的性質(zhì)是關鍵．