Question

設(shè)a，b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)y=

2015

x

是閉區(qū)間[1，2015]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì)

專題：新定義

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)y=

2015

x

的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組

km+b=n kn+b=m

，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值．

解答：解：（1）反比例函數(shù)y=

2015

x

是閉區(qū)間[1，2015]上的“閉函數(shù)”．理由如下：
反比例函數(shù)y=

2015

x

在第一象限，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2015；
當(dāng)x=2015時(shí)，y=1，
所以，當(dāng)1≤x≤2015時(shí)，有1≤y≤2015，符合閉函數(shù)的定義，故
反比例函數(shù)y=

2015

x

是閉區(qū)間[1，2015]上的“閉函數(shù)”；


（2）∵k＞0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是y隨x的增大而增大，
∴

km+b=n kn+b=m

，
解得

k=1 b=0

．
∴此函數(shù)的解析式是y=x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義．解題時(shí)，也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．