Question

10．如圖，拋物線y=-x²+4x+5與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．△PCM是以CM為底的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2+$\sqrt{6}$，3）；當(dāng)a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最�。�

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的解析式易求點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．如答圖3所示，將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M₁（1，1）；作點(diǎn)M₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M₂，則M₂（1，-1）；連接PM₂，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM₂最�。�

解答 解：∵y=-x²+4x+5與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）
又∵M(jìn)（0，1），△PCM是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的等腰三角形，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．
令y=-x²+4x+5=3，解得x=2±$\sqrt{6}$．
∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（2+$\sqrt{6}$，3）．
四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長(zhǎng)度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長(zhǎng)將取得最小值．（如圖所示）
將點(diǎn)M向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度（EF的長(zhǎng)度），得M₁（1，1）；
作點(diǎn)M₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M₂，則M₂（1，-1）；
連接PM₂，與x軸交于F點(diǎn)，此時(shí)ME+PF=PM₂最�。�
設(shè)直線PM₂的解析式為y=mx+n，將P（2+$\sqrt{6}$，3），M₂（1，-1）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{（2+\sqrt{6}）m+n=3}\\{m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4\sqrt{6}-4}{5}}\\{n=\frac{-4\sqrt{6}-1}{5}}\end{array}\right.$
∴y=$\frac{4\sqrt{6}-4}{5}$x-$\frac{4\sqrt{6}+1}{5}$．
當(dāng)y=0時(shí)，解得x=$\frac{\sqrt{6}+5}{4}$．∴F（$\frac{\sqrt{6}+5}{4}$，0）．
∵a+1=，∴a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$．
∴a=$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$時(shí)，四邊形PMEF周長(zhǎng)最�。�
故答案為：（2+$\sqrt{6}$，3），$\frac{\sqrt{6}+1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定和性質(zhì)、二元一次方程組的運(yùn)用以及二次函數(shù)的最值和軸對(duì)稱-最短路線的性質(zhì)．試題計(jì)算量偏大，注意認(rèn)真計(jì)算．