Question

1．已知拋物線y=x²+（2-m）x-2m（m≠-2）與y軸交于點A，與x軸交于點B、C（B點在C點的左邊）．
（1）寫出A、B、C三點的坐標；
（2）設m=a²-2a+4，試問是否存在實數(shù)a，使△ABC為直角三角形；
（3）設m=a²-2a+4，當∠BAC最大時，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）先令x=0，求出點A坐標，再令y=0求出方程的根，分兩種情況得出點B，C坐標；
（2）先判斷得出點B，C坐標，再求出AB²，BC²，AC²，用m的范圍得出AB，BC，AC的大小，從而得出結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的邊角的不等關(guān)系得出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=0，由y=x²+（2-m）x-2m（m≠2），
∴y=-2m，
∴A的坐標為（0，-2m）
  令y=0，由y=x²+（2-m）x-2m（m≠2），
∴x²+（2-m）x-2m=0，
∴（x+2）（x-m）=0
∴x₁ =-2，x₂=m
∵B點在C點左邊．
∴①當 m＜-2時，B，C的坐標分別為（m，0）和（-2，0）．
②當 m＞-2，但m≠2時，B，C的坐標分別為（-2，0）和（m，0）．
 
（2）不存在，
理由：∵m=a²-2a+4=（a-1）²+3≥3．
由（1）的結(jié)論知，A的坐標為（0，-2m），B，C的坐標分別為（-2，0）和（m，0）．
∴AB²=4m²+4
     BC²=（m+2）²=m²+4m+4
    AC²=m²+4m² =5m²
∵m≥3，
∴3m²=m×3m≥9m＞4m，
∴AB² =4m²+4＞m² +4m+4=BC²，
∴AB＞BC．
∵m≥3，
∴m²＞=9＞4，
∴AC² =5m² ＞4m² +4=AB²，
∴AC＞AB．
∴AC＞AB＞BC．
∵AB² +BC²=5m²+4m+8＞5m² =AC²．
∴不存在實數(shù)a，使△ABC為Rt△．
 
（3）不存在，
理由：∵m=a²-2a+4=（a-1）²+3≥3．
由（2）的結(jié)論知，AC＞AB＞BC．
∴∠BAC 最�。�
∴不存在實數(shù)a，能使得∠BAC最大．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標軸上點的特點，二次函數(shù)的極值，直角三角形的判斷，三角形邊的大小的判斷方法，解本題的關(guān)鍵是得出AC＞AB＞BC．