Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB邊上，且HD=BD。
（1）求證：∠B與∠AHD互補；
（2）若∠B+2∠DGA=180°，試探究線段AG與線段AH，HD之間滿足的等量關系，并加以證明。

Answer 1

解：（1）證明：在AB上取一點M，使得AM = AH，連接DM。
∵∠CAD=∠BAD，AD = AD
∴△AHD≌△AMD
∴HD = MD，∠AHD =∠AMD
∵HD = DB
∴DB = MD
∴∠DMB =∠B
∵∠AMD＋∠DMB = 180°
∴∠AHD＋∠B = 180°
即∠B與∠AHD互補。
（2）由（1）∠AHD =∠AMD，HD = MD∠AHD＋∠B=180 °
∵∠B+2∠DGA=180°
∴∠AHD=2∠DGA
∴∠AHD=2∠DGM
∵∠AMD=∠DGM+∠GDM
∴2∠DGM=∠DGM+∠GDM
∴∠DGM=∠GDM
∴MD=MG
∴HD=MG
∴AG=AM+MG
∴AG=AH+HD。