Question

已知：如圖，在?ABCD中，∠BCD的平分線交AB于E，交DA的延長線于F．
（1）求證：DF=DC；
（2）若E是FC的中點，請直接寫出與線段DA相等的所有其它線段．（說明：不再添加其它線段和字母）

Answer 1

（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠AEF=∠DCE，∠F=∠BCE．
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠F=∠DCE，
∴DF=DC；

（2）解：∵在平行四邊形ABCD中，
∴AD=CB，
∵E是FC的中點，
∴EC=EF，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（ASA）
∴AF=BC，AE=BE，
∴AD=AF，
在平行四邊形ABCD中，
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠AEF=∠DCE，∠F=∠BCE．
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AE=BE=BC=AF=AD．
分析：（1）利用平行四邊形的性質可以推出AB∥DC，AD∥BC，然后利用它們得到角的關系，再利用角平分線即可證明題目結論；
（2）首先得出△AEF≌△BEC，進而得出AF=BC，AE=BE，再利用平行四邊形的性質得出AE=BE=BC=AF=AD．
點評：此題主要考查了平行四邊形的基本性質，并利用性質解題．
平行四邊形基本性質：
①平行四邊形兩組對邊分別平行；
②平行四邊形的兩組對邊分別相等；
③平行四邊形的兩組對角分別相等；
④平行四邊形的對角線互相平分．