Question

7．如圖，三角形紙片ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．將紙片折疊，使點B落在AC邊上的點D處，折痕與BC、AB分別交于點E、F．
（1）設BE=x，DC=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并確定自變量x的取值范圍；
（2）當△ADF是直角三角形時，求BE的長；
（3）當△ADF是等腰三角形，且∠A是頂角時，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理即可得出y²+（3-x）²=x²，從而得出y=$\sqrt{6x-9}$，由于當E和C重合時，x最大，最大值為3，6x-9≥0，即可求得x的取值；
（2）分兩種情況分別討論即可求得；
（3）根據(jù)CD的值，求得AF、AD、DF、BF的值，作FH⊥AD于H，則Rt△AFH∽Rt△ABC，從而求得AH、FH，進而求得DH的值，在Rt△DFH中，令$\sqrt{6x-9}$=t，根據(jù)勾股定理得出15t²+130t-135=0，進而通過解方程就可求得BE的長．

解答 解：（1）∵BE=x，
∴DE=x，EC=3-x，
在RT△DEC中，DC²+EC²=DE²，即y²+（3-x）²=x²，
∴y=$\sqrt{6x-9}$，
當E和C重合時，x最大，最大值為3，
∴$\frac{3}{2}$≤x≤3；

（2）分兩種情況：
①如圖1，當∠ADF=90°時，則FD∥BC，
∴∠AFD=∠B，
∵∠EDF=∠B，
∴∠AFD=∠EDF，
∴DE∥AB，
∴△DEC∽△ABC，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EC}{BC}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{3-x}{3}$，
解得x=$\frac{15}{8}$，
∴BE=$\frac{15}{8}$
②如圖2，當∠AFD=90°時，作EH⊥AB于H，則△BEH∽△BAC，
∵BE=x，
∴BH=$\frac{3}{5}$x，HE=$\frac{4}{5}$x，
∵∠BFE=45°，
∴HF=HE=$\frac{4}{5}$x，
∴BF=DF=$\frac{7}{5}$x，
∴AF=5-$\frac{7}{5}$x，
∵△ADF∽△ABC，
∴$\frac{\frac{7}{5}x}{5-\frac{7}{5}x}$=$\frac{3}{4}$，
解得x=$\frac{75}{49}$，即BE=$\frac{75}{49}$，
∴由①②得，$BE=\frac{15}{8}或\frac{75}{49}$；

（3）如圖3，∵AD=AF，CD=$\sqrt{6x-9}$，則AF=AD=4-$\sqrt{6x-9}$
∴DF=BF=5-（4-$\sqrt{6x-9}$）=1+$\sqrt{6x-9}$
作FH⊥AD于H，則Rt△AFH∽Rt△ABC，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FH}{BC}$，即$\frac{AH}{4}$=$\frac{4-\sqrt{6x-9}}{5}$=$\frac{FH}{3}$
∴AH=$\frac{16-4\sqrt{6x-9}}{5}$，F(xiàn)H=$\frac{12-3\sqrt{6x-9}}{5}$，
∴DH=AD-AH=4-$\sqrt{6x-9}$-$\frac{16-4\sqrt{6x-9}}{5}$=$\frac{4-\sqrt{6x-9}}{5}$，
在Rt△DFH中，DH²+FH²=DF²，
∴（$\frac{4-\sqrt{6x-9}}{5}$）²+（$\frac{12-3\sqrt{6x-9}}{5}$）²=（1+$\sqrt{6x-9}$）²
令$\sqrt{6x-9}$=t，代入上式并化簡得15t²+130t-135=0，
解得t=$\frac{-13±5\sqrt{10}}{3}$（舍去負值）
∴$\sqrt{6x-9}$=$\frac{-13+5\sqrt{10}}{3}$，
解得x=$\frac{250-130\sqrt{10}}{27}$，即BE的長為 $\frac{250-130\sqrt{10}}{27}$．

點評 該題主要考查了翻折變換的性質及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．