Question

1．兩個(gè)矩形如圖1擺放在直線MN上，AD=EH=1，CD=DE=EF=2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α，同時(shí)將矩形EFGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α，其中0°＜α＜90°．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C和F重合時(shí)，α=30°；
（2）如圖3，當(dāng)兩個(gè)矩形的重疊部分為正方形時(shí)，α=45°，重疊部分的面積S=6-4$\sqrt{2}$；
（3）如圖4，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B與點(diǎn)G重合時(shí)，設(shè)DC與EF交于P，BP的延長(zhǎng)線交DE于Q，線段BQ與DE的關(guān)系是垂直平分相等，利用你的結(jié)論（不用證明），計(jì)算兩個(gè)矩形重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由CD=FE=DE=2，得到△CDE為等邊三角形，則∠DCE=60°，得到∠1=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，得到α=30°；
（2）由四邊形MFNC為正方形，而矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和矩形EFGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．得到NF=NC，∠FNC=90°，則∠DNE=90°，ND=NE，得到∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°-90°-45°=45°，即α=45°，由于△DFE是等腰直角三角形，DE=2，可求出DF=$\sqrt{2}$，CF=2-$\sqrt{2}$，即可求出重合正方形面積；
（3）垂直平分相等，可證明△BFP≌△EQP，得到PF=QE，在△BFP中用勾股定理列方程求出PF，即可求出重合部分面積．

解答 解：（1）如圖2，
∵CD=FE=DE=2，
∴△CDE為等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠MDA=180°-∠ADC-∠CDE=180°-90°-60°=30°，
而∠MDA等于旋轉(zhuǎn)角，
∴α=30°；
（2）如圖3，∵四邊形MFNC為正方形，
而矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和矩形EFGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．
∴NF=NC，∠FNC=90°，
∴∠DNE=90°，ND=NE，
∴∠NDE=∠NED=45°，
∴∠ADM=180°-90°-45°=45°，
∴α=45°．
∵△DEF是等腰直角三角形，DE=2，
∴DF=$\sqrt{2}$，CF=2-$\sqrt{2}$，
∴S正方形=（2-$\sqrt{2}$）²=6-4$\sqrt{2}$；
（3）線段BQ與DE的關(guān)系是：垂直平分相等．
如圖4，
在△BFP和△EQP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠EQP=90°}\\{∠BPF=∠EPQ}\\{BF=QE=1}\end{array}\right.$
∴△BFP≌△EQP，
∴PQ=PF，
設(shè)PF=x，則BP=2-x，
∵BP²=PF²+BF²，
∴（2-x）²=1²+x²
∴x=$\frac{3}{4}$，
∴S_{四邊形BFPC}=2S_△BFP=2×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：（1）30°；（2）45°，$6-4\sqrt{2}$；（3）垂直平分相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、以及勾股定理和圖形面積計(jì)算等知識(shí)，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及具有較強(qiáng)的邏輯推理能力是解決問題的關(guān)鍵．