Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，點E為弧AC的中點，AC、BE交于點D過A的切線交BE的延長線于F．
（1）求證：AD=AF；
（2）若$\frac{AO}{AF}$=$\frac{2}{3}$，求tan∠ODA的值．

Answer 1

分析 （1）連接BC，由點E為弧AC的中點，得到∠ABE=∠CBE，由AF是⊙O的切線，得到∠BAF=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BDC=∠F，等量代換得到∠ADE=∠F，于是得到結(jié)論；
（2）連接AE，由AB是⊙O的直徑，得到AE⊥BF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAE=∠FAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE=∠ADO，根據(jù)已知條件設(shè)AO=2x，AF=3x，勾股定理得到BF=5x，根據(jù)射影定理得到EF=$\frac{A{F}^{2}}{BF}$=$\frac{16}{5}$x，根據(jù)三角形的面積公式得到AE=$\frac{12}{5}$x，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接BC，
∵點E為弧AC的中點，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AF是⊙O的切線，
∴∠BAF=90°，
∴∠ABF+∠F=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∴∠CBD=∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠F，
∵∠ADF=∠BDC，
∴∠ADE=∠F，
∴AD=AF；
（2）連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AE⊥BF，
∴∠DAE=∠FAE，
∵OD⊥BE，
∴OD∥AE，
∴∠DAE=∠ADO，
∴∠FAE=∠ODA，
∵$\frac{AO}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
設(shè)AO=2x，AF=3x，
∴AB=4x，
∴BF=5x，
∵∠BAF=90°，AE⊥BF，
∴AF²=EF•BF，
∴EF=$\frac{A{F}^{2}}{BF}$=$\frac{16}{5}$x，
∵S_△ABF=$\frac{1}{2}$AB•AF=$\frac{1}{2}$BF•AE，
∴AE=$\frac{12}{5}$x，
∴tan∠ODA=tan∠EAF=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了圓周角定理，射影定理，三角形的面積公式，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．