Question

如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點A₂，…，∠A_n-1BC的平分線與∠A_n-1CD的平分線交于點An．設∠A=θ．則：
（1）∠A₁=______；
（2）∠A_n=______．

Answer 1

解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=∠ABC，∠A₁CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A₁=；

（2）同理可得∠A₂=∠A₁=•θ=，
所以∠A_n=．
故答案為：（1），（2）．
分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=∠ABC，∠A₁CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）與（1）同理求出∠A₂，可以發(fā)現(xiàn)后一個角等于前一個角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．
點評：本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)然后推出后一個角是前一個角的一半是解題的關鍵．