Question

如圖，一粒子在區(qū)域｛(x，y)|x≥0，y≥0｝內運動，在第1秒內它從原點運動到點B₁(0，1)，接著由點B₁，然后按圖中箭頭所示方向在x軸，y軸及其平行線上運動，且每秒移動1個單位長度，求該粒子從原點運動到點P（16，44）時所需要的時間。

Answer 1

設粒子從原點到達A_n、B_n、C_n時所用的時間分別為a_n、b_n、c_n
   則有：a₁=3，a₂= a₁+1
             a₃= a₁+12= a₁+3×4， a₄= a₃+1 
             a₅ = a₃+20= a₃+5×4， a₆=a₅+1
                    …………
           a_2n-1= a_2n-3+ (2n-1)×4， a_2n= a_2n-1+1
   ∴ a_2n-1= a₁+4[3+5+……+（2n-1）]=4n²-1
       a_2n= a_2n-1+1=4n²
   ∴ b_2n-1= a_2n-1-2 (2n-1)= 4n²-4n+1
        b_2n= a_2n+2×2n= 4n²+4n c_2n-1= b_2n-1+ (2n-1)= 4n²-2n
        c_2n= a_2n+ 2n= 4n²+2n=(2n)²+2n
   ∴c_n=n²+n
  ∴粒子到達（16，44）所需時間是到達點c44時所用的時間再加上44-16=28（s）
   所以t=442+447+28=2008（s）