Question

（2013•齊齊哈爾）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程x²-（

3

+1）x+

3

=0的兩個(gè)根，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且AB：AC=1：2
（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以 A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過解一元二次方程x²-（

3

+1）x+

3

=0，求得方程的兩個(gè)根，從而得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可求AB的長，根據(jù)AB：AC=1：2，可求AC的長，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分①當(dāng)點(diǎn)M在CB邊上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)M在CB邊的延長線上時(shí)；兩種情況討論可求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三種情況討論可求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）x²-（

3

+1）x+

3

=0，
（x-

3

）（x-1）=0，
解得x₁=

3

，x₂=1，
∵OA＜OB，
∴OA=1，OB=

3

，
∴A（1，0），B（0，

3

），
∴AB=2，
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4，
∴C（-3，0）；

（2）由題意得：CM=t，CB=2

3

．
①當(dāng)點(diǎn)M在CB邊上時(shí)，S=2

3

-t（0≤t＜2

3

）；
②當(dāng)點(diǎn)M在CB邊的延長線上時(shí)，S=t-2

3

（t＞2

3

）；

（3）存在，Q₁（-1，0），Q₂（1，-2），Q₃（1，2），Q₄（1，

2 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：解一元二次方程，兩點(diǎn)之間的距離公式，三角形面積的計(jì)算，函數(shù)思想，分類思想的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．