Question

以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于D，過點D作⊙O的切線交BC于點E，連接OE．求證：EB=EC=ED．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)，由DE是⊙O的切線得到∠ODE=90°，再利用“HL”證明Rt△ODE≌Rt△OBE，得到ED=EB，∠1=∠2，由三角形外角性質(zhì)得∠BOD=∠A+∠3，加上∠A=∠3，則∠2=∠4，于是可判斷OE∥AC，利用點O為AB的中點，得到OE為△ABC的中位線，所以CE=EB，于是有EB=EC=ED．

解答：證明：連接OD，如圖，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
在Rt△ODE和Rt△OBE中，

OD=OB OE=OE

，
∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL），
∴ED=EB，∠1=∠2，
∵∠BOD=∠A+∠3，
而OA=OD，
∴∠A=∠3，
∴∠2=∠4，
∴OE∥AC，
而點O為AB的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴CE=EB，
∴EB=EC=ED．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．