Question

如圖，Rt△ABC中，∠AOB=90°，點A在y=-

4

x

上，點B在y=

6

x

上，則tan∠OAB=

6

2

．

Answer 1

分析：過A作AC垂直于x軸，過B作BD垂直于x軸，由A在反比例函數(shù)y=

-4

x

上，B在反比例函數(shù)y=

6

x

上，利用反比例函數(shù)k的幾何意義求出三角形AOC與三角形BOD的面積，再由OA與OB垂直得到一對角互余，由AC垂直于x軸得到直角三角形AOC中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形BOD與三角形AOC相似，由面積之比等于相似比的平方，由面積比求出相似比，在直角三角形AOB中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出tan∠OAB的值．

解答：解：過A作AC⊥x軸，過B作BD⊥軸，
∵A在反比例函數(shù)y=

-4

x

上，B在反比例函數(shù)y=

6

x

上，
∴S_△AOC=

1

2

×|-4|=2，S_△BOD=

1

2

×6=3，
∵AC⊥CO，OA⊥OB，BD⊥OD
∴∠CAO+∠COA=90°，∠COA+∠BOD=90°，∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
∴△BDO∽△OCA，
又∵S_△BDO：S_△OCA=3：2，
∴BO：OA=

3

：

2

，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=

BO

AO

=

3

2

=

6

2

．
故答案為：

6

2

．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，反比例函數(shù)中k的幾何意義，以及銳角三角函數(shù)定義，作出相應的輔助線是解本題的關鍵．