Question

19．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于點(diǎn)E，∠B+∠D=180°．求證：AE=AD+BE．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CE=CF，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠CDF=∠B，然后利用“角角邊”證明△CDF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=BE，再利用“HL”證明Rt△ACF和Rt△ACE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=AF，然后根據(jù)AF=AD+DF等量代換即可得證．

解答 證明：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CE=CF，
∵∠B+∠ADC=180°．
∠ADC+∠CDF=180°（平角定義），
∴∠CDF=∠B，
在△CDF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠B}\\{∠F=∠CEB=90°}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AE=AF，
∵AF=AD+DF，
∴AE=AD+BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于要進(jìn)行二次全等證明．