Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B，C分別在x、y軸的正半軸上，∠ACB=90°，∠BAC=60°．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)P作PQ平行于x軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，若P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，線段PQ的長(zhǎng)為d，請(qǐng)用含t的式子表示d．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)PA=$\frac{5}{6}$d時(shí)，E是線段CQ上一點(diǎn)，連接OE，BP，若OE=BP，求∠APB-∠OEB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）在三角形AOC中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC的長(zhǎng)，在直角三角形ABC中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長(zhǎng)，由AB-OA求出OB的長(zhǎng)，即可確定出B的坐標(biāo)；
（2）如圖1所示，在直角三角形MCP中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由MP=t，表示出PC，在直角三角形QPC中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出PQ，即可得出d與t的關(guān)系式；
（3）如圖2所示，過(guò)E作GF⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F，交PQ于點(diǎn)G，在直角三角形QCP中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半表示出PC，由AP-PC表示出AC，根據(jù)已知AC的長(zhǎng)求出d的值，確定出PC與PQ的長(zhǎng)，在直角三角形PCB中，利用勾股定理求出PB的長(zhǎng)，即為PE的長(zhǎng)，設(shè)OF=GM=x，表示出GE，由GF-EG表示出EF，在直角三角形OEF中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OF=PC，再由OE=PB，利用HL得到直角三角形OEF與直角三角形PCB全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠EOF=∠APB，再利用外角性質(zhì)即可求出∠APB-∠OEB的度數(shù)．

解答 解：（1）在Rt△AOC中，OA=2，∠BAC=60°，
∴∠ACO=30°，即AC=2OA=4，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，即OB=AB-OA=8-2=6，
則B（6，0）；
（2）如圖1所示，

在Rt△MCP中，MP=t，∠MCP=30°，
∴CP=2MP=2t，
在Rt△CQP中，∠CQP=30°，CP=2t，
∴PQ=4t，即d=4t；   
（3）如圖2所示，過(guò)E作GF⊥x軸，交x軸于點(diǎn)F，交PQ于點(diǎn)G，

在Rt△PQC中，∠CQP=30°，PQ=d，
∴CP=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}$d，
∵AP=$\frac{5}{6}$d，
∴AC=AP-CP=$\frac{1}{3}$d=4，即d=12，
∴PQ=12，PC=6，MP=3，QM=9，
在Rt△CBP中，CP=6，BC=4$\sqrt{3}$，
∴PB=$\sqrt{{6}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
∴OE=PB=2$\sqrt{21}$，
在Rt△OEF中，設(shè)OF=GM=x，QG=9-x，
在Rt△QEG中，GE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-x），
∵M(jìn)C=3$\sqrt{3}$，OC=2$\sqrt{3}$，
∴GF=OM=5$\sqrt{3}$，
∴EF=5$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-x），
在Rt△OEF中，根據(jù)勾股定理得：x²+[5$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（9-x）]²=（2$\sqrt{21}$）²，
解得：x=6，
∴OF=PC=6，
在Rt△OEF和Rt△PBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=PB}\\{OF=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEF≌Rt△PBC（HL），
∴∠AOE=∠APB，
∵∠AOE=∠OEB+∠ABC=∠OEB+30°，即∠AOE-∠OEB=30°，
則∠APB-∠OEB=30°．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，外角性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．