Question

16．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，且過點D的⊙O的切線DE平分BC邊，交BC于點E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)∠A=45°時，以點O、B、E、D為頂點的四邊形是正方形；
（3）以點O、B、E、D為頂點的四邊形不可能（可能、不可能）為菱形．

Answer 1

分析 （1）要證BC是⊙O的切線，就要證OB⊥BC，只要證∠OBE=90°即可，首先作輔助線，連接OD、OE，由已知得OE為△ABC的中位線，OE∥AC，從而證得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切線，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得證．
（2）由題意使四邊形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC為等腰三角形，進而得出以點O、B、E、D為頂點的四邊形是正方形；
（3）直接利用三角形的中位線的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法進而得出答案．

解答 （1）證明：連接OD、OE，
∵O為AB的中點，E為BC的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥AC（三角形中位線性質(zhì)），
∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行線性質(zhì)），
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∴∠DOE=∠BOE（等量代換）
在△ODE和△OBE中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOE=∠BOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OBE（SSS）
∴∠ODE=∠OBE
∵DE是⊙O的切線
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切線．

（2）解：當(dāng)∠A=∠C=45°時，四邊形OBDE是正方形，
證明如下：
如圖2，連接BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AC（直徑所對的圓周角為直角），
∵∠A=∠B，
∴AB=BC，
∴D為AC的中點（等腰三角形的性質(zhì)），
∵E為BC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，
∵OD=OB，
∴四邊形OBED為正方形．
故答案為：45°；

（3）解：∵CE=BE，AD≠CD，
∴DE于OB不平行，
∴以點O、B、E、D為頂點的四邊形不可能是菱形，
故答案為：不可能．

點評 本題考查了切線的判定，正方形的判定，圓周角定理，菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．