Question

17．如圖，一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y=k₁x的圖象相交于點(diǎn)A（4，3），且OA=OB．
（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點(diǎn)P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)，可以求出正比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)即可求出一次函數(shù)解析式．
（2）如圖1中，過(guò)A作AD⊥y軸于D，求出AD即可解決問(wèn)題．
（3）分三種情形討論即可①OA=OP，②AO=AP，③PA=PO．

解答 解：∵正比例函數(shù)y=k₁x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，3），
∴4k₁=3，
∴k₁=$\frac{3}{4}$，
∴正比例函數(shù)解析式為y=$\frac{3}{4}$x．
如圖1中，過(guò)A作AC⊥x軸于C，在RT△AOC中，OC=4，AC=3
AO=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴OB=OA=5，
∴B（0，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{k}_{2}+b=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=2x-5．

（2）如圖1中，過(guò)A作AD⊥y軸于D，
∵A（4，3），
∴AD=4，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•OB•AD=$\frac{1}{2}$×5×4=10，

（3）如圖2中，當(dāng)OP=OA時(shí)，P₁（-5，0），P₂（5，0），
當(dāng)AO=AP時(shí)，P₃（8，0），
當(dāng)PA=PO時(shí)，線段OA的垂直平分線為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$，
∴P₄（$\frac{25}{8}$，0），
∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（-5，0）或（5，0）或（8，0）或（$\frac{25}{8}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形面積、等腰三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分類討論，不能漏解，屬于中考�？碱}型．