Question

已知點E、F在△ABC的邊AB所在的直線上，且AE=BF，F(xiàn)H∥EG∥AC，F(xiàn)H、EG分別交于邊BC所在的直線于點H、G．
如圖1，如果E、F在邊AB上，可得結(jié)論：EG+FH=AC．
理由是：因為FH∥EG∥AC，所以△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，①+②得

BF+BE

AB

=

FH+EG

AC

又由已知AE=BF，所以BF+BE=AB，∴

FH+EG

AC

=1，即EG+FH=AC

（1）如圖2，如果點E在AB邊上，點F在AB的延長線，那么線段EG、FH、AC的長度有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明．
（2）如圖3，如果點E在AB的反向延長線上，點F在AB的延長線上，那么線段EG、FH、AC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，①+②得出

BF+BE

AB

=

FH+EG

AC

，把AE=BF代入即可求出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定推出△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，得出比例式

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，②-①得出

BE-BF

AB

=

EG-FH

AC

，把AE=BF代入求出即可．

解答：（1）線段EG、FH、AC的長度的數(shù)量關(guān)系是EG+FH=AC，
證明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，
∴①+②得：

BF+BE

AB

=

FH+EG

AC

又∵AE=BF，
∴BF+BE=AB，
∴

FH+EG

AC

=1，
即EG+FH=AC

（2）線段EG、FH、AC的數(shù)量關(guān)系是EG-FH=AC，
證明：∵FH∥EG∥AC，
∴△BHF∽△BCA，△BGE∽△BCA，
∴

BF

AB

=

FH

AC

①，

BE

AB

=

EG

AC

②，
∴②-①得：

BE-BF

AB

=

EG-FH

AC

，
又∵AE=BF，
∴BE-BF=AB，
∴

EG-FH

AC

=1，
∴EG-FH=AC．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，證明過程類似．