Question

在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MN⊥AB分別交AB，CD于M，N，連結BE交MN于點O，過O作OP⊥BE分別交AB，CD于P，Q．

探究：(1)如圖，當點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE，MP，NQ的長度，猜測AE與MP＋NQ之間的數(shù)量關系，并證明你所猜測的結論；

探究：(2)如圖，若點E在DA的延長線上時，AE，MP，NQ之間的數(shù)量關系又是怎樣？請直接寫出結論；

再探究：(3)如圖，連結并延長BN交AD的延長線DG于H，若點E分別在線段DH和射線HG上時，請在下圖中完成符合題意的圖形，并判斷AE，MP，NQ之間的數(shù)量關系又分別怎樣？請直接寫出結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖結論：AE＝MP＋NQ　　2分 　　證明：過Q作于，則，∵MN⊥AB，∴∠AMN＝90°． 　　∵四邊形ABCD為正方形，， 　　∴四邊形AMND為正方形，∴MN＝AD＝AB，． 　　∴四邊形為矩形．，　　3分 　　在△BAE和中， 　　∵PQ⊥BE，．， 　　　　4分 　　，，　　5分 　　，， 　　　　6分 　　(2)如圖，若點E在DA的延長線上時，結論AE＝QN－MP　　8分 　　(3)如圖，若點E1在線段DH上時，結論：AE1＝MP1＋NQ1　　10分 　　若點E2在射線HG上時，結論：AE2＝MP2－NQ2　　12分